A Equação Mais Importante da Cosmologia

A equação que governa a expansão do Universo, obtida pela primeira vez por Friedman em 1922,a partir da teoria da Relatividade Geral, notavelmente pode ser deduzida apenas com recurso ao poderoso Princípio da Conservação de Energia, como irei mostrar neste post, usando a teoria da gravidade de Newton.  

Imaginemos um observador colocado num meio que se expande uniformemente. Uma “partícula” (por ex., uma galáxia) situada a uma distância r do centro (que pode ser um ponto arbitrário, porque o Universo tem a mesma aparência a partir de qualquer posição sob o qual é observado- não existem pontos privilegiados), sentirá sobre si a  força de Newton:

                               F = GmM/r^2 = 4 Pi G d r m/3

m = massa da galáxia; M= massa contida na esfera de raio r ; d = densidade do material contido na esfera ; G = constante de gravitação.

Relembro o teorema de Newton que afirma que a partícula na superfície da esfera sofre apenas a influência gravitacional da matéria contida no interior da esfera.

A energia potencial gravítica da galáxia é:

                            E(p) = - GmM/r = - 4 pi G d m r^2/r

A energia mecânica da galáxia é:

                             E = (1/2)m (dr/dt)^2 – (4pi/3) G d m r^2

v = dr/dt =  velocidade da galáxia

Esta equação permite saber como se afastam duas galáxias distanciadas de r.

No post anterior foi referido que as galáxias não se afastam necessariamente umas das outras (algumas até se aproximam umas das outras)- o que é universal é a expansão do tecido do cosmo que se comporta como um elástico que se estica. Poderemos escrever a distância entre duas quaisquer galáxias como:

                              r(t) = a(t) x

em que x é a distância entre as 2 galáxias supostas fixas (no referencial que se expande) e a(t) é uma nova função conhecida como factor escala do universo. A energia mecânica da galáxia em termos do factor escala a(t) é:

                             E = (1/2) m (da/dt)^2 (x^2) – (4 pi/3) G d m (a^2) (x^2)

Rearranjando os termos (é fácil) teremos:

                             (da/dt/a)^2 = (8piG/3) d – k c^2/a^2

Em que kc^2 = -2E/mx^2.

E chegamos à mais importante equação da Cosmologia- a equação de Friedman (também conhecida por equação de Friedman-Lemaitre-Robertson-Walker)!

E como foi tão fácil lá chegarmos! Friedman usou, como dissemos atrás, as equações da Relatividade Geral, e pagou o preço do rigor com a complexidade da teoria de Einstein. O bónus é uma compreensão do verdadeiro significado de k, não como uma medida da energia mecânica da galáxia, mas como uma medida da curvatura do espaço. Dependendo do sinal de k teremos universos com diferentes geometrias. Assim:

                                k < 0  universo aberto, tipo sela

                                k = 0 universo plano,  tipo euclideano

                               k > 0 universo fechado, tipo esfera            

A Expansão do Universo- Um Pouco de História

Hoje a expansão do Universo é um dado adquirido. E mais ainda: é uma expansão acelerada. Mas há exatamente 100 atrás existia uma evidência contrária: a galáxia Andrómeda que foi a primeira que esteve envolvida nas medições da velocidade de Doppler apresentava desvio para o azul, com uma velocidade de aproximação da nossa galáxia de 300 km/s. 

Foi Slipher que em 1912 obteve quatro espectrogramas de um objecto que ele classificava como uma nebulosa (nessa altura ainda se acreditava que a nossa galáxia era única!), a nebulosa de Andrómeda. E quão custoso deveria ter sido a obtenção desses primeiros quatros espectrogramas! Relembremos: a luz de uma estrela está concentrada num ponto na imagem formada por um telescópio; para fazer espectroscopia é necessário dispersar essa imagem para identificar as linhas e os seus afastamentos, que se conseguem distinguir com a imagem dispersa porque esta é suficientemente brilhante. Mas a imagem de uma galáxia está dispersa logo no princípio e a dispersão espectroscópica da já ténue imagem torna-a ainda mais ténue, com as linhas do espectro difíceis de diferenciar e identificar. Se a imagem dispersa for demasiado grande as linhas serão demasiado ténues para poderem ser vistas; se a imagem for suficientemente nítidas para se verem as linhas será provavelmente demasiado pequena para que se possa medir os desvios das riscas…E tudo isso é feito na cúpula de um telescópio sem aquecimento porque o ar quente provoca correntes de convexão que podem esfumar a imagem no telescópio. E Slipher trabalhava  num observatório 2000 m acima do nível do mar… Esses primeiros quatro espectrogamas são o fruto não só de um extraordinário engenho técnico mas de um árduo, paciente e sacrificado trabalho. A tudo isso devemos o nosso actual conhecimento da expansão do Universo.

Mas a história não se fica por aqui, não!

Com muito trabalho, levando os instrumentos até ao seu limite, Slipher aumentou a lista de desvios de Doppler até 13 em 1914. Mas agora surgia um padrão: apenas duas destas 13 imagens apresentavam desvios para o azul, as restantes 11 tinham todas desvios para o vermelho. Seria coincidência? Em 1925 Slipher tinha medido 41 desvios de Doppler e outros astrónomos tinham juntado 4 à lista (Slipher sozinho tinha mais medições de que todos os outros juntos!). Agora eram 43 em 45 que apresentavam desvios para o vermelho, e a máxima velocidade de recessão medida ultrapassava os 1000 km/s. Parecia nessa altura que era  mais do que simples coincidência…Note-se que  nessa altura ainda não sabiam que esses objectos “nebulosos” eram na realidade galáxias por direito próprio.

Hubble herdou todos esses desvios mas só conhecia a distância a 18 galáxias isoladas. Já havia a suspeita que as maiores velocidades de recessão medidas por Slipher eram das galáxias mais distantes, mas foi Hubble quem teve a ideia de comparar os desvios para o vermelho com as distâncias, construindo um gráfico, apenas com os dados referentes 33 galáxias, das quais ele  conhecia apenas as distâncias a  19 objectos.

Eis o gráfico por ele obtido e publicado no ano de 1929:

Que professor que aceitaria essa linha recta se um seu aluno a apresentasse? No mínimo seria preciso ter muita fé e não menor imaginação para desenhar  uma recta através daqueles pontos! Confesso que quando o prof. Paulo Crawford me exibiu esse gráfico no seu Curso realizado no Observatório da Ajuda fiquei chocado! Insatisfeito fiz uma pequena pesquisa bibliográfica para me sentir mais esclarecido…e surgiu este post!  

Mas parece que o sucesso aos audazes pertence e em 1931 um outro gráfico resultante do trabalho minucioso de Hubble e um seu colaborador,Milton Humason, confirmava a exactidão da audaciosa mistura entre trabalho científico e imaginação feita inicialmente por Hubble. Eis o gráfico que definitivamente confirma a expansão do Universo:

 Agora sim! Cá temos um respeitável gráfico que estabelece uma das maiores descobertas intelectuais feitas pelo Homem em toda a sua história!

NOTA- O pequeno rectângulo representa as primeiras medidas feitas por Hubble.

As Verdades E Os Erros Acerca Da Expansão Do Universo

Este tema é  muito pertinente pois, como se poderá ver ao longo da leitura deste post, são frequentes as concepções erróneas acerca da natureza da expansão do Universo. E começando pelo princípio…

11-      O Big-Bang foi uma explosão semelhante à bomba que rebenta num ponto do espaço, espalhando os seus estilhaços no espaço à sua volta.

Erro.

O que explodiu não foi um objecto material colocado num certo ponto do espaço mas o próprio espaço. O Big-Bang foi o nascimento do  espaço. Por isso o não existiu um centro da explosão, ela sucedeu simultaneamente em todos os lugares. E não tem sentido sequer pensar “para onde se expande o Universo?” porque à medida que o Universo se expande vai criando mais espaço para ser ocupado por uma futura matéria que se poderá originar da materialização da energia…

22-      As galáxias não se podem afastar a uma velocidade superior à da luz no vazio.

Erro.

A teoria da Relatividade Restrita não se aplica às velocidades de recessão entre as galáxias porque esta velocidade não é causada pelo movimento através do espaço mas é o movimento do próprio espaço.

De acordo com a lei de Hubble

                                       v (recessão) = H.d

                               H = constante de Hubble; d = distância entre as galáxias

à  medida que a distância entre galáxias aumenta também a velocidade de recessão  aumenta até que  para  d = d (Hubble)

                                     v(recessão) > c (velocidade da luz no vazio)!!!

33-      Nunca poderemos ver galáxias que se afastam de nós com  uma velocidade de recessão  superior à da luz no vazio.

Erro

Isso seria verdade se a taxa de expansão do Universo fosse constante, só que esta aumenta com o tempo. Assim a luz que saia de  uma galáxia situada para além do nosso Universo observável poderá penetrar nos nossos telescópios pois o nosso próprio Universo aumenta a uma  taxa tal que poderá interceptar a luz que se dirige para nós.

44-      O afastamento das galáxias implica um efeito de Doppler responsável pelo deslocamento para o vermelho.

Erro

É a expansão do Universo que “estica” o comprimento da luz .

Utilizando a fórmula de Doppler para  objectos com velocidades próximas da luz aqueles teriam redshifts a aproximarem-se do infinito, quer dizer,c.d.o. enormes que impediriam de ser observados.Mas o redshitf dos cosmólogos, que não é o redshitf de Doppler,conduz a conclusões diferentes. Para galáxias que se afastam à velocidade da luz no vazio o seu c.d.o. recebido é 150% superior ao c.d.o. no laboratório, o que corresponde a um redshift de 1,5. Os astrónomos já encontraram mais de 1000 galáxias com reshift superior a 1,5, ou seja, com uma velocidade superior a c!

55-      Como o tempo  do Universo é de 13,7 mil milhões de anos = 13,7 Giga- anos então  o raio do nosso universo observável é de 13,7 Giga-anos-luz

Erro

Essa afirmação seria verdadeira se o Universo não se expandisse. Como não é o caso, o verdadeiro tamanho do nosso Universo observável é aproximadamente 3x13,7 Giga-anos-luz, isto é, 40 mil milhões de ano-luz.

66-      Como o Universo se expande tudo no Universo se expande.

Erro

No interior do enxame de galáxias podem existir movimentos locais de galáxias que se aproximam entre si.

Seria preferível pensar no fenómeno da expansão do Universo como uma expansão a larga escala entre enxames de galáxias.

Este é um resumo de como a Moderna Cosmologia encara a natureza da expansão do Universo, que é muito mais subtil do que a  apresentada em muitos livros de divulgação científica e mesmo  em muitos  manuais de ensino superior e secundário.