A Equação Mais Importante da Cosmologia

A equação que governa a expansão do Universo, obtida pela primeira vez por Friedman em 1922,a partir da teoria da Relatividade Geral, notavelmente pode ser deduzida apenas com recurso ao poderoso Princípio da Conservação de Energia, como irei mostrar neste post, usando a teoria da gravidade de Newton.  

Imaginemos um observador colocado num meio que se expande uniformemente. Uma “partícula” (por ex., uma galáxia) situada a uma distância r do centro (que pode ser um ponto arbitrário, porque o Universo tem a mesma aparência a partir de qualquer posição sob o qual é observado- não existem pontos privilegiados), sentirá sobre si a  força de Newton:

                               F = GmM/r^2 = 4 Pi G d r m/3

m = massa da galáxia; M= massa contida na esfera de raio r ; d = densidade do material contido na esfera ; G = constante de gravitação.

Relembro o teorema de Newton que afirma que a partícula na superfície da esfera sofre apenas a influência gravitacional da matéria contida no interior da esfera.

A energia potencial gravítica da galáxia é:

                            E(p) = - GmM/r = - 4 pi G d m r^2/r

A energia mecânica da galáxia é:

                             E = (1/2)m (dr/dt)^2 – (4pi/3) G d m r^2

v = dr/dt =  velocidade da galáxia

Esta equação permite saber como se afastam duas galáxias distanciadas de r.

No post anterior foi referido que as galáxias não se afastam necessariamente umas das outras (algumas até se aproximam umas das outras)- o que é universal é a expansão do tecido do cosmo que se comporta como um elástico que se estica. Poderemos escrever a distância entre duas quaisquer galáxias como:

                              r(t) = a(t) x

em que x é a distância entre as 2 galáxias supostas fixas (no referencial que se expande) e a(t) é uma nova função conhecida como factor escala do universo. A energia mecânica da galáxia em termos do factor escala a(t) é:

                             E = (1/2) m (da/dt)^2 (x^2) – (4 pi/3) G d m (a^2) (x^2)

Rearranjando os termos (é fácil) teremos:

                             (da/dt/a)^2 = (8piG/3) d – k c^2/a^2

Em que kc^2 = -2E/mx^2.

E chegamos à mais importante equação da Cosmologia- a equação de Friedman (também conhecida por equação de Friedman-Lemaitre-Robertson-Walker)!

E como foi tão fácil lá chegarmos! Friedman usou, como dissemos atrás, as equações da Relatividade Geral, e pagou o preço do rigor com a complexidade da teoria de Einstein. O bónus é uma compreensão do verdadeiro significado de k, não como uma medida da energia mecânica da galáxia, mas como uma medida da curvatura do espaço. Dependendo do sinal de k teremos universos com diferentes geometrias. Assim:

                                k < 0  universo aberto, tipo sela

                                k = 0 universo plano,  tipo euclideano

                               k > 0 universo fechado, tipo esfera